神经网络是深度学习的基础，上节提到由LR能够联系到神经网络，本节就对神经网络和BP算法进行一个回顾和总结。
1.由LR到神经网络
前面在逻辑回归的文章末尾提到，当样本是线性不可分时，需要对样本数据进行转换，转换过后在进行分类，那么转换的这个步骤就成为特征的提取的过程，结构如图所示：
如上图所示，图中的结构每进行一次转换的结构，就称为一个神经元，还可以有如下这样的结构：
同样，一个红色的框起来的部分称之为神经元，神经元不同的连接方式，会产生不同的模型，模型的参数都包含在神经元的内部。
值得一提的是，在前面LR中说，当数据线性不可分时，需要我们自己去找特征转换的方程，使得样本变成线性可分的，然后再使用LR进行分类；
然而在神经网络中，不需要我们去找转换的方程，参数包含在网络中，一起进行训练，但这时需要我们自己去设计网络的结构，来找出合适的模型（参数），从而得到好的结果。
2.全连接神经网络
网络/模型结构
按照机器学习的三步走理论，首先我们需要确定模型，就是模型长什么样子，这里介绍一种全连接神经网络。
上面说到神经网络神经元之间的连接方式，决定了神经网络各种各样的模型和结构，下面说一种最常见的神经网络结构——全连接神经网络：
顾名思义，全连接神经网络就是每个神经元都相互连接，首先通过一个例子看一下一个结构的传播过程：
左边为输入（1，-1）,每个箭头指向为权重参数w，绿色的方框为偏差b，首先进行线性相加，然后经过sigmoid方程，得到输出后，将该输出作为下一次传播的输入，继续向前：
那么上面的这个过程，利用向量的形式表示为：
将第一节的图中方框的神经元“neuron”用“○”代替，那么全连接神经网络的结构如下：
上面就是一个较为完整全连接神经网络结构，最左侧为输入，称之为输入层，最右侧为输出，称之为输出层，在输入出与输出层之间的结构称之为隐藏层；
值得注意的是，在神经网络中，左侧的靠近输入层的称之为“后”，右侧靠近输出层的结构称之为“前”。因此上面那个例子的传播方式也称之为前向传播。
那么上面的示例的前向传播过程，我们用向量的形式来表示，这里只看第一层的过程：
第一层中的四个权重，利用向量的形式表示为：
然后再经过sigmoid函数：
可以看到每一个神经元其实就是一个LR单元，总的来说，神经网络前向传播的向量形式即为：
每一层的输出即是下一层的输入，直到最后的输出层。上面就是神经网络正向传播的过程。
在多分类问题中，通常最后一层的输出层为用于多分类的Softmax函数。
3.模型的训练以及BP算法
网络的结构需要我们初始给定，即网络的层数、每个网络所含有的神经元个数，确定了网络模型的结构也就确定了参数的数量，那么接下来就是找出最好的一组参数，也就是模型的训练。
根据在LR中我们计算损失的方式，在神经网络中，同样我们期望真实值与预测值越接近越好，因此在此同样采用交叉熵作为损失函数，不同的是，在LR中交叉熵的推导来自于最大似然估计的推导，而这里直接使用交叉熵公式，期望样本的真实分布与预测的分布越接近越好，即：
这里假设多分类的类别为10类，那么需要计算每一个维度之间的交叉熵，然后加和得到一个样本的交叉熵，对于多个样本，将所有样本再次相加即为交叉熵损失函数：
然后就是利用梯度下降进行求解，其梯度为：
这种前向传播的梯度下降训练方式跟之前的一致，但是，当网络过于复杂时，参数的数量也过于庞大，这样可能目标损失函数过于复杂，直接求导难度较大，因此为更有效地计算梯度，通常采用BP反向传播算法。
BP算法原理
神经网络的损失函数为L(θ)，那么损失函数对参数的导数为：
首先拿出一个神经元来看：
根据链式求导法则：
这里可以看到，导数的第一部分，即z对w的导数即为w所对应的输入x，比如下面这个例子：
接下来看链式求导所得导数的后半部分，假设这一个神经元的输出为a，那么进一步利用链式求导法则：
导数的前半部分导数即为sigmoid函数的导数σ'(z)，然后就是后半部分，a为该层的输出，同时也是下一层网络的输入，与l有关，那么继续到下一层：
a作为后面网络的输入，影响到下一层网络的每一个输出，假设下一层有两个神经元，那么a经过线性加权，分别得到z'和z''，那么根据链式求导法则：
两个部分，每一部分的前半部分为输入a对应的连接的权重w，即：
.
那么有：
那么回到第一步的l对z的求导结果：
如果到这一步就到达了输出层，那么这里就可以知道l分别对z'和z''的导数了，因为：
然后就可以求得l对w的导数了。
如果这一步没有到达输出层，那么就继续进入下一层：
继续重复上述步骤即可，直到到达输出层。
那么从上面的过程来看，我们在计算l对z的导数，需要一步一步递归地向后计算，直到传播到输出层，然后求输出层y对前一层的导数，再一步一步向后（输入层）传，最终得到l对w的导数，即梯度，就可以利用梯度下降进行迭代了。
因此上面的过程就是一个反向传播的过程，如图所示：
根据上面的过程，在前向传播中求链式求导结果中，每一项的第一部分，这一部分较容易直接求导得出的，反向传播求得每一项的第二部分，这一部分需要不断地递归求得，如图所示：
4.利用Keras实现深度学习
下面就通过一个实例，来实现神经网络（深度学习），并说明每一步的作用。
首先数据集来源与MNIST的手写数字辨识数据集，数据是手写的0~9的图片数据，首先导入所需要的的库，并从sklearn读取数据集并对数据作处理：
from sklearn.datasets import fetch_openml
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
from keras import Sequential
from keras.layers import Dense
from keras.layers import Activation
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
data_x, data_y = fetch_openml('mnist_784', version=1, return_X_y=True)
# 将大于0的置为1，只要0和1的图片数据
data_x[data_x > 0] = 1
data_x = np.mat(data_x)
one_hot = OneHotEncoder()
data_y = one_hot.fit_transform(np.array(data_y).reshape(data_y.shape[0], 1)).toarray()
train_x, test_x, train_y, test_y = train_test_split(data_x, data_y)
先来看一下数据长什么样子：
data_x[:10] #### matrix([[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], ..., [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.]]) data_y[:10] #### array([[0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0.], [1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0.], [0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1.], [0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.], [0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.], [0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0.]])
X是28*28共784维的稀疏矩阵，Y经过独热编码后每一个数据是一个10维的数据，我们画一下任意一张来看一下：
def plot_digit(data):
image = data.reshape(28, 28)
plt.imshow(image, cmap=mpl.cm.binary, interpolation='nearest')
plt.axis("off")
one_digit = data_x[10000]
plot_digit(one_digit)
数据准备好后，就到了建模的阶段，利用keras神经网络框架建模：
首先是网络结构，需要我们自己定一个网络结构，包括网络层数、每个层数的神经元个数，这里输入为28*28维，因此输入层为784维，输出为10维，输出层结构10。中间层我们暂定为500，那么网络结构如图所示：
然后就是利用keras对上面网络进行建模的过程：
这样模型就建好了，接下来就是对模型进行编译，这里与之前的不太一样，之前直接定义好模型和参数就可以fit了：
model.compile(optimizer='adam', loss='categorical_crossentropy', metrics=['accuracy'])
可选的optimizer就是之前的梯度下降那一节介绍的参数优化方法，详见：https://www.cnblogs.com/501731wyb/p/15322391.html
可选的loss也有很多，可见官方文档：https://keras.io/zh/losses/。
接下来利用数据进行训练了：
model.fit(train_x, train_y, batch_size=300, epochs=20)
这里batch_size就是训练中采用一批数据进行训练，选完一批继续下一批，直到所有数据完成一次，成为1个epoch。
然后查看训练结果，以及在测试集上的表现：
score = model.evaluate(test_x, test_y)
print('total loss on testing data', score[0])
print('accuracy on testing data', score[1])
32/17500 [..............................] - ETA: 17s
1120/17500 [>.............................] - ETA: 1s
2272/17500 [==>...........................] - ETA: 0s
3648/17500 [=====>........................] - ETA: 0s
5216/17500 [=======>......................] - ETA: 0s
6720/17500 [==========>...................] - ETA: 0s
8224/17500 [=============>................] - ETA: 0s
9888/17500 [===============>..............] - ETA: 0s
11648/17500 [==================>...........] - ETA: 0s
13376/17500 [=====================>........] - ETA: 0s
15072/17500 [========================>.....] - ETA: 0s
16864/17500 [===========================>..] - ETA: 0s
17500/17500 [==============================] - 1s 35us/step
total loss on testing data 0.116816398623446
accuracy on testing data 0.9730285714285715
可以看到，在训练集上有99.53左右的精确度，在测试集上有97.3%的准确率，测试数据共有17500张图片，其中错误分类的又472张，我们找出这472张：
error_idx = [] for i in range(len(test_x)): predict_array = model.predict(test_x[i]) true_array = test_y[i] predict_result = np.argmax(predict_array) true_idx = np.argwhere(true_array == 1)[0][0] if true_idx != predict_result: error_idx.append(i)
然后看一下这些分错的数据，先写一个批量画图的函数：
def plot_digits(instances, image_per_row=10, **options):
size = 28
image_per_row = min(len(instances), image_per_row)
images = [instance.reshape(28, 28) for instance in instances]
n_rows = (len(instances) - 1)//image_per_row + 1
row_images = []
n_empty = n_rows * image_per_row - len(instances)
images.append(np.zeros((size, size * n_empty)))
for row in range(n_rows):
rimages = images[row*image_per_row:(row+1)*image_per_row]
row_images.append(np.concatenate(rimages, axis=1))
image = np.concatenate(row_images, axis=0)
plt.imshow(image, cmap=mpl.cm.binary, **options)
plt.axis("off")
plt.figure(figsize=(9, 9))
然后画出来一部分数据，看下为啥会分错：
example_images = [] for idx in error_idx[:30]: example_images.append(test_x[idx]) plot_digits(example_images, image_per_row=10)
从这些图片上可以看到，这些分错的数据中一大部分还是很难区分的，比如第二排第一张，肉眼都是比较难区分的。
这是可能是因为对于特征的提取还是不够充分，导致错误分类，需要进一步调整模型，下一节主要说一下深度学习中的一些优化策略。
神经网络到这里初步介绍完毕了，主要介绍了全连接神经网络和BP算法，并利用keras框架进行了实现，完成了深度学习的"Hello World"。
内容主要来源于李宏毅老师的课程，由于看的时间比较久了，这里再回顾一下，事情比较多，总算完结了，下一节主要总结一下常用的损失函数及特性，以及在深度学习中一些模型优化和调整策略。
